Les volumes des solides
Connaitre et appliquer les formules de volume (cube, pavé, cylindre, pyramide, cône, sphère)
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Creer mon compte gratuitÀ retenir de cet épisode
Combien de litres peut contenir ta boite de céréales ? Combien de terreau dans un pot de fleurs ?
Pour répondre à ce genre de questions, il te faut maitriser les formules de volume. Dans cet épisode, Léo et Maya passent en revue les six solides que tu dois connaitre : le cube, le pavé droit, le cylindre, la pyramide, le cône et la sphère.
Ils détaillent chaque formule, la calculent avec un exemple concret et te signalent le piège principal à éviter. Tu découvriras pourquoi la pyramide et le cône utilisent une division par trois, et ce qui se passe si tu l'oublies.
Léo et Maya abordent aussi les conversions entre centimètres cubes, décimètres cubes et litres, un classique qui peut te faire gagner des points. En bonus, tu entendras l'histoire d'Archimède, ce savant du troisième siècle avant Jésus-Christ qui a crié « eurêka » dans sa baignoire en découvrant le principe du déplacement d'eau.
Cinq minutes pour apprendre six formules, repérer l'erreur la plus fréquente et retenir une conversion qui sauve : un décimètre cube égale un litre. De quoi aborder les exercices de volumes avec confiance.
Six solides, six formules de volume
Le cube a la formule la plus simple : c au cube, c'est-à-dire c fois c fois c. Le pavé droit, comme une boite de céréales, se calcule avec longueur fois largeur fois hauteur.
Léo applique cette formule à une boite de vingt centimètres sur huit sur trente et trouve quatre mille huit cents centimètres cubes. Le cylindre utilise l'aire de sa base circulaire multipliée par la hauteur, soit pi fois le rayon au carré fois la hauteur.
Pour un pot de fleurs de rayon dix et hauteur quinze, cela donne mille cinq cents pi, environ quatre mille sept cents centimètres cubes.
Pyramide et cône : attention à la division par trois
La pyramide et le cône partagent la même logique : on calcule l'aire de la base fois la hauteur, puis on divise par trois. Pourquoi ?
Parce qu'une pyramide remplit exactement un tiers du prisme qui l'englobe, et un cône un tiers du cylindre correspondant. Maya insiste sur le piège classique : oublier cette division par trois donne un résultat trois fois trop grand.
C'est l'erreur la plus fréquente sur ce type d'exercice.
La sphère et son coefficient quatre tiers
La formule du volume de la sphère est quatre tiers de pi fois le rayon au cube. Léo souligne un point important : le rayon est bien au cube, pas au carré, parce que la sphère est un objet en trois dimensions.
Avec un ballon de basket de rayon douze centimètres, le calcul donne douze au cube (mille sept cent vingt-huit), multiplié par pi (environ cinq mille quatre cents), puis par quatre tiers, soit environ sept mille deux cents centimètres cubes.
Conversions : centimètres cubes, décimètres cubes et litres
Un litre égale un décimètre cube, soit mille centimètres cubes. Un mètre cube égale mille litres.
Maya rappelle que cette conversion est indispensable pour relier un résultat en centimètres cubes à une quantité concrète en litres. Par exemple, la boite de céréales de quatre mille huit cents centimètres cubes contient quatre virgule huit litres.
Archimède et le déplacement d'eau
Léo et Maya racontent l'anecdote d'Archimède, savant du troisième siècle avant Jésus-Christ. La légende dit qu'en prenant son bain, il a observé que son corps déplaçait un volume d'eau égal au sien, ce qui lui a fait crier « eurêka », qui signifie « j'ai trouvé ».
Cette méthode du déplacement d'eau est encore utilisée aujourd'hui pour mesurer le volume d'objets aux formes irrégulières.
Les points clés
- Le volume du cube est c au cube, celui du pavé droit est longueur fois largeur fois hauteur, et celui du cylindre est pi fois rayon au carré fois hauteur.
- Pour la pyramide et le cône, on divise par trois : aire de la base fois la hauteur, divisé par trois.
- Le volume de la sphère est quatre tiers de pi fois le rayon au cube.
- Un décimètre cube égale un litre, et un mètre cube égale mille litres.
- Oublier la division par trois pour la pyramide ou le cône donne un volume trois fois trop grand.
Questions fréquentes
Comment calculer le volume d'un pavé droit ?
Le volume d'un pavé droit se calcule en multipliant la longueur par la largeur par la hauteur. Par exemple, une boite de vingt centimètres de long, huit de large et trente de haut a un volume de quatre mille huit cents centimètres cubes, soit quatre virgule huit litres.
Pourquoi divise-t-on par trois pour le volume d'une pyramide ou d'un cône ?
Une pyramide remplit exactement un tiers du prisme qui a la même base et la même hauteur. De la même façon, un cône remplit un tiers du cylindre correspondant.
La formule est donc aire de la base fois la hauteur, divisé par trois. Oublier cette division donne un résultat trois fois trop grand.
Quelle est la formule du volume d'une sphère ?
Le volume d'une sphère est quatre tiers de pi fois le rayon au cube. Le rayon est bien au cube (et non au carré) parce que la sphère est un objet en trois dimensions.
Pour un ballon de rayon douze centimètres, cela donne environ sept mille deux cents centimètres cubes.
Comment convertir des centimètres cubes en litres ?
Un litre égale un décimètre cube, soit mille centimètres cubes. Pour convertir, il suffit de diviser le nombre de centimètres cubes par mille.
Par exemple, quatre mille huit cents centimètres cubes font quatre virgule huit litres. À plus grande échelle, un mètre cube égale mille litres.
Qui a découvert le principe du déplacement d'eau ?
C'est Archimède, au troisième siècle avant Jésus-Christ. Selon la légende, il a observé dans son bain que son corps déplaçait un volume d'eau égal au sien.
Il a alors crié « eurêka », qui signifie « j'ai trouvé ». Cette méthode est encore utilisée aujourd'hui pour mesurer le volume d'objets aux formes irrégulières.