Le théorème de Pythagore
Maitriser le théorème de Pythagore (direct + réciproque) dans un triangle rectangle
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Creer mon compte gratuitÀ retenir de cet épisode
Tu te demandes comment on calcule la diagonale d'un écran sans sortir un mètre ruban ? La réponse tient en une formule : le théorème de Pythagore.
Dans cet épisode, Léo et Maya te montrent comment utiliser cette relation fondamentale dans tout triangle rectangle. Tu découvriras comment identifier l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit), comment calculer un côté manquant en appliquant a au carré plus b au carré égale c au carré, et comment éviter les pièges classiques comme oublier la racine carrée à la fin du calcul.
Léo et Maya t'expliquent aussi la réciproque du théorème : elle te permet de prouver qu'un triangle est rectangle à partir de trois longueurs données. Tu mémoriseras les deux triangles rectangles les plus célèbres (trois-quatre-cinq et cinq-douze-treize) et tu apprendras que ce théorème, formalisé par Pythagore au sixième siècle avant Jésus-Christ, était déjà connu des Babyloniens mille trois cents ans plus tôt.
GPS, architecture, robotique : Pythagore est partout autour de toi.
L'énoncé du théorème de Pythagore
Dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On note cette relation a au carré plus b au carré égale c au carré, où a et b sont les côtés de l'angle droit et c est l'hypoténuse.
L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit et le plus long des trois côtés. Si tu te trompes en l'identifiant, tout l'exercice est faux.
Calculer l'hypoténuse ou un côté manquant
Pour trouver l'hypoténuse, tu additionnes les carrés des deux autres côtés, puis tu prends la racine carrée du résultat. Exemple : côtés six et huit donnent trente-six plus soixante-quatre, soit cent, et la racine de cent vaut dix.
Pour trouver un côté de l'angle droit, tu soustrais : hypoténuse treize et un côté cinq donnent cent soixante-neuf moins vingt-cinq, soit cent quarante-quatre, et la racine vaut douze. Attention : l'erreur classique est de donner le carré (cent) au lieu de la longueur (dix).
Pense toujours à prendre la racine carrée pour conclure.
La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle
La réciproque du théorème dit que si, dans un triangle, la somme des carrés de deux côtés égale le carré du troisième, alors ce triangle est rectangle. Question type au CE1D : on te donne trois longueurs et tu dois vérifier si le triangle est rectangle.
Tu calcules a au carré plus b au carré et tu compares à c au carré. Si c'est égal, le triangle est rectangle.
Un peu d'histoire et des applications modernes
Pythagore était un mathématicien et philosophe grec du sixième siècle avant Jésus-Christ. Il a fondé une école secrète où l'on étudiait les nombres.
Mais la relation entre les côtés d'un triangle rectangle était déjà connue des Babyloniens mille trois cents ans avant lui, comme le prouvent des tablettes d'argile retrouvées en Mésopotamie. Aujourd'hui, le théorème est utilisé en géolocalisation GPS, en architecture et en robotique.
Les triangles classiques à mémoriser
Deux triplets pythagoriciens reviennent très souvent dans les exercices : trois-quatre-cinq et cinq-douze-treize. Tu peux vérifier : trois au carré plus quatre au carré donne neuf plus seize, soit vingt-cinq, qui est bien cinq au carré.
De même, cinq au carré plus douze au carré donne vingt-cinq plus cent quarante-quatre, soit cent soixante-neuf, qui est treize au carré. Les connaitre par cœur te fait gagner du temps au CE1D.
Les points clés
- Dans un triangle rectangle, a au carré plus b au carré égale c au carré, où c est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, le plus long).
- Pour conclure un calcul de côté, il faut toujours prendre la racine carrée du résultat.
- La réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle en testant l'égalité des carrés.
- Les triangles trois-quatre-cinq et cinq-douze-treize sont les deux triplets pythagoriciens classiques à mémoriser.
- Pythagore a formalisé le théorème au sixième siècle avant Jésus-Christ, mais les Babyloniens connaissaient cette relation mille trois cents ans plus tôt.
Questions fréquentes
Comment identifier l'hypoténuse dans un triangle rectangle ?
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi toujours le côté le plus long des trois.
Si tu te trompes en l'identifiant, tout le calcul sera faux.
Comment calculer l'hypoténuse avec le théorème de Pythagore ?
Tu additionnes les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis tu prends la racine carrée du total. Par exemple, avec des côtés de six et huit : six au carré plus huit au carré donne cent, et la racine de cent vaut dix.
Comment trouver un côté de l'angle droit quand on connait l'hypoténuse ?
Tu soustrais le carré du côté connu du carré de l'hypoténuse, puis tu prends la racine carrée. Par exemple, hypoténuse treize et un côté cinq : cent soixante-neuf moins vingt-cinq donne cent quarante-quatre, et la racine vaut douze.
Comment prouver qu'un triangle est rectangle avec Pythagore ?
Tu utilises la réciproque du théorème. Tu calcules la somme des carrés des deux plus petits côtés et tu compares au carré du plus grand.
Si les deux valeurs sont égales, le triangle est rectangle.
Quels sont les triplets pythagoriciens classiques à connaitre pour le CE1D ?
Les deux triplets les plus courants sont trois-quatre-cinq et cinq-douze-treize. Ils reviennent souvent dans les exercices et les connaitre par cœur te fait gagner du temps lors de l'épreuve.