Factoriser : la mise en évidence
Maitriser la factorisation par mise en évidence du facteur commun (numérique, littéral, mixte)
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Creer mon compte gratuitÀ retenir de cet épisode
Tu trouves que les calculs avec des lettres sont parfois compliqués ? Bonne nouvelle : la factorisation par mise en évidence est une technique qui simplifie tout.
Dans cet épisode, Léo et Maya te montrent comment repérer un facteur commun dans une expression et le sortir devant une parenthèse. Tu découvriras d'abord le principe avec un calcul mental tout simple : quatre fois huit plus quatre fois trois devient quatre fois onze, soit quarante-quatre, en une seule multiplication au lieu de deux.
Ensuite, tu passeras aux expressions littérales : factoriser six x plus neuf, puis quatre x au carré plus six x, et enfin quinze x au carré plus dix x. À chaque étape, Léo et Maya te rappellent de vérifier en développant.
Tu apprendras aussi le piège classique du CE1D : ne pas mettre en évidence le plus grand facteur commun, ce qui donne une factorisation incomplète et fait perdre des points. Avec les exemples concrets et la méthode pas à pas de cet épisode, tu sauras factoriser avec confiance et éviter les erreurs les plus fréquentes.
Le principe : factoriser, c'est l'inverse de développer
Factoriser, c'est repérer un facteur commun à tous les termes d'une expression et le placer devant une parenthèse. La formule de base est simple : a fois b plus a fois c égale a fois (b plus c).
C'est exactement la distributivité lue à l'envers. Le mot vient du latin factor, qui signifie « celui qui fait » : le facteur, c'est le nombre (ou la lettre) qui multiplie.
Comment trouver le facteur commun
Pour factoriser, tu cherches le plus grand diviseur commun des coefficients, puis tu regardes quelle lettre (et quelle puissance) apparaît dans chaque terme. Par exemple, dans six x plus neuf, le plus grand diviseur commun de six et neuf est trois.
Tu obtiens donc trois fois (deux x plus trois). Dans quatre x au carré plus six x, le facteur commun est deux x, ce qui donne deux x fois (deux x plus trois).
Cas mixte : coefficients et lettres ensemble
Quand l'expression combine de grands coefficients et des lettres, la méthode reste la même. Prenons quinze x au carré plus dix x.
Le plus grand diviseur commun de quinze et dix est cinq, et x est présent dans les deux termes. Le facteur commun est donc cinq x.
On divise chaque terme par cinq x : quinze x au carré divisé par cinq x donne trois x, et dix x divisé par cinq x donne deux. Résultat : cinq x fois (trois x plus deux).
Le piège classique : la factorisation incomplète
L'erreur la plus courante au CE1D est de sortir un facteur commun, mais pas le plus grand. Exemple : douze x plus dix-huit.
Si tu mets seulement deux en évidence, tu obtiens deux fois (six x plus neuf), mais six et neuf sont encore divisibles par trois. La bonne réponse est six fois (deux x plus trois).
Le réflexe à avoir : toujours chercher le plus grand diviseur commun.
Vérifier en développant : cinq secondes qui sauvent un point
Après chaque factorisation, tu développes le résultat pour vérifier. Tu multiplies le facteur devant la parenthèse par chaque terme à l'intérieur.
Si tu retombes sur l'expression de départ, c'est correct. Léo et Maya insistent : cette vérification prend cinq secondes et peut sauver un point à l'épreuve.
Les points clés
- Factoriser, c'est sortir le facteur commun devant une parenthèse : ab + ac = a(b + c).
- Toujours chercher le PLUS GRAND diviseur commun pour éviter une factorisation incomplète.
- Après avoir factorisé, on vérifie en développant : on doit retomber sur l'expression initiale.
- Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou les deux à la fois (exemple : deux x, cinq x).
- Une factorisation incomplète fait perdre des points au CE1D.
Questions fréquentes
Comment factoriser une expression algébrique par mise en évidence ?
Tu cherches le plus grand facteur commun à tous les termes (nombre et lettre), puis tu le places devant une parenthèse. Chaque terme de l'expression est divisé par ce facteur commun, et le résultat forme le contenu de la parenthèse.
Par exemple, six x plus neuf se factorise en trois fois (deux x plus trois).
Quelle est la différence entre factoriser et développer ?
Factoriser et développer sont des opérations inverses. Développer consiste à multiplier le facteur par chaque terme de la parenthèse (distributivité).
Factoriser consiste à lire cette distributivité à l'envers : on repère le facteur commun et on le sort devant la parenthèse.
Comment vérifier si une factorisation est correcte ?
Tu développes le résultat obtenu en multipliant le facteur devant la parenthèse par chaque terme à l'intérieur. Si tu retombes exactement sur l'expression de départ, ta factorisation est correcte.
C'est une vérification rapide qui prend quelques secondes.
Qu'est-ce qu'une factorisation incomplète ?
Une factorisation incomplète se produit quand tu mets en évidence un facteur commun, mais pas le plus grand possible. Par exemple, sortir deux de douze x plus dix-huit donne deux fois (six x plus neuf), mais six et neuf ont encore trois en commun.
La factorisation complète est six fois (deux x plus trois).
Comment trouver le facteur commun quand il y a des lettres et des nombres ?
Tu procèdes en deux étapes. D'abord, tu identifies le plus grand diviseur commun des coefficients (les nombres).
Ensuite, tu repères la lettre commune avec la plus petite puissance présente dans chaque terme. Tu combines les deux.
Par exemple, dans quinze x au carré plus dix x, le facteur commun est cinq x.