Les racines carrées : carrés parfaits et estimation
Connaitre les carrés parfaits jusqu'à 144, estimer une racine non parfaite, appliquer la propriété du produit, et éviter le piège classique de la somme
Ecouter l'episode
Fiche d'écoute
Suit l'audio pas a pas, schema + exercices
Fiche synthese
2 pages : A retenir + exercice CE1D resolu
Quiz CE1D
Niveau Bases — 1 question gratuite pour tester !
Debloque tout le quiz CE1D
Les 4 questions Bases restantes et les 5 questions Synthese type CE1D, plus les fiches PDF.
Pack CE1D · 24,99 EURAcces 12 mois, 44 episodes
Cree ton compte pour sauvegarder tes scores !
Creer mon compte gratuitÀ retenir de cet épisode
Tu sais calculer sept fois sept, mais sais-tu que ce calcul te donne déjà la clé des racines carrées ? Dans cet épisode, Léo et Maya t'expliquent tout ce qu'il faut savoir sur ce sujet pour être au point le jour de l'épreuve.
Tu vas d'abord découvrir la définition officielle : la racine carrée d'un nombre a, c'est le nombre positif b tel que b au carré égale a. Ensuite, tu vas mémoriser les carrés parfaits de un à cent quarante-quatre, une liste incontournable pour calculer vite.
Tu apprendras aussi à estimer une racine carrée sans calculatrice, en encadrant le nombre entre deux carrés parfaits consécutifs. Par exemple, racine de cinquante se trouve entre sept et huit, parce que quarante-neuf est le carré de sept et soixante-quatre est le carré de huit.
Léo et Maya te montrent également une propriété très utile : la racine d'un produit égale le produit des racines. Mais attention au piège classique : la racine d'une somme ne vaut pas la somme des racines.
Maya le prouve avec un exemple frappant où séparer les racines sur une addition mène à un résultat faux. En bonus, tu découvriras d'où vient le symbole √ et une légende surprenante liée à Pythagore.
Cinq minutes pour maitriser un sujet qui revient régulièrement.
Définition et carrés parfaits à connaitre
La racine carrée d'un nombre a, c'est le nombre positif b tel que b au carré égale a. Par exemple, la racine carrée de seize vaut quatre, car quatre au carré donne seize.
Pour aller vite, il faut connaitre par cœur les carrés parfaits jusqu'à douze au carré : un, quatre, neuf, seize, vingt-cinq, trente-six, quarante-neuf, soixante-quatre, quatre-vingt-un, cent, cent vingt-et-un et cent quarante-quatre. Cette liste te permet de reconnaitre immédiatement si un nombre a une racine entière.
Estimer une racine carrée sans calculatrice
Quand le nombre n'est pas un carré parfait, tu peux l'encadrer entre deux carrés parfaits pour estimer sa racine. Par exemple, cinquante se situe entre quarante-neuf (sept au carré) et soixante-quatre (huit au carré), donc la racine de cinquante est entre sept et huit, plus proche de sept.
De même, quatre-vingts est juste en dessous de quatre-vingt-un (neuf au carré), donc sa racine est très proche de neuf, aux alentours de huit virgule neuf. C'est la méthode d'encadrement, un classique des épreuves.
La propriété du produit des racines
Une propriété très pratique : la racine d'un produit est égale au produit des racines. Par exemple, racine de trente-six peut se calculer comme racine de quatre fois neuf, soit racine de quatre multipliée par racine de neuf, c'est-à-dire deux fois trois, ce qui donne six.
Cette décomposition est utile quand tu dois simplifier une racine ou vérifier un résultat rapidement.
Le piège classique : racine d'une somme
Attention, la racine d'une somme ne vaut pas la somme des racines. C'est un piège fréquent en épreuve.
Prenons racine de neuf plus seize : il faut d'abord calculer neuf plus seize, ce qui donne vingt-cinq, puis prendre la racine, soit cinq. Si tu sépares les racines, tu obtiens trois plus quatre, soit sept, et c'est faux.
Retiens bien : on calcule d'abord ce qu'il y a sous la racine avant de prendre la racine.
D'où vient le symbole √ et la légende de Pythagore
Le symbole √ a été créé par le mathématicien allemand Christoph Rudolff en 1525. Il a stylisé la lettre r, comme dans le mot latin radix qui signifie racine, le même mot qui a donné « radical ».
Côté anecdote historique, l'école de Pythagore, au sixième siècle avant Jésus-Christ, croyait que tous les nombres étaient rationnels. Un élève nommé Hippase a démontré que la racine de deux est irrationnelle, impossible à écrire comme fraction.
La légende raconte qu'il aurait été jeté à la mer pour avoir révélé ce secret. Aujourd'hui, les nombres irrationnels comme racine de deux ou pi sont parfaitement acceptés, mais il a fallu environ deux mille ans pour y arriver.
Les points clés
- La racine carrée de a est le nombre positif b tel que b au carré égale a.
- Les carrés parfaits à retenir vont de un (un au carré) à cent quarante-quatre (douze au carré).
- Pour estimer une racine non parfaite, encadre le nombre entre deux carrés parfaits consécutifs.
- La racine d'un produit égale le produit des racines, mais la racine d'une somme ne vaut pas la somme des racines.
- Le symbole √ vient du mot latin radix (racine), stylisé par Christoph Rudolff en 1525.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une racine carrée ?
La racine carrée d'un nombre a, c'est le nombre positif b tel que b au carré (b × b) égale a. Par exemple, la racine carrée de seize vaut quatre, car quatre fois quatre donne seize.
Quels sont les carrés parfaits à connaitre pour le CE1D ?
Il faut connaitre les carrés parfaits de un au carré jusqu'à douze au carré : un, quatre, neuf, seize, vingt-cinq, trente-six, quarante-neuf, soixante-quatre, quatre-vingt-un, cent, cent vingt-et-un et cent quarante-quatre. Cette liste permet de reconnaitre immédiatement si un nombre possède une racine entière.
Comment estimer une racine carrée sans calculatrice ?
Tu encadres le nombre entre deux carrés parfaits consécutifs. Par exemple, cinquante est entre quarante-neuf (sept au carré) et soixante-quatre (huit au carré), donc sa racine est entre sept et huit, plus proche de sept.
De même, quatre-vingts est juste en dessous de quatre-vingt-un (neuf au carré), donc sa racine est environ huit virgule neuf.
Est-ce que la racine d'une somme égale la somme des racines ?
Non, c'est un piège classique. La racine d'une somme ne vaut pas la somme des racines.
Par exemple, racine de neuf plus seize vaut racine de vingt-cinq, soit cinq, et non pas racine de neuf plus racine de seize, qui donnerait trois plus quatre, soit sept. Il faut d'abord calculer la somme sous la racine.
D'où vient le symbole racine carrée √ ?
Le symbole √ a été inventé par le mathématicien allemand Christoph Rudolff en 1525. Il a stylisé la lettre r du mot latin radix, qui signifie racine.
C'est le même mot qui a donné « radical » en français.