Développer une expression : la double distributivité
Maitriser la double distributivité (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd, avec règle des signes
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Creer mon compte gratuitÀ retenir de cet épisode
Tu as déjà vu la distributivité simple, mais que se passe-t-il quand il faut multiplier deux parenthèses entre elles ? C'est exactement le sujet de cet épisode : la double distributivité.
Léo veut calculer la nouvelle aire du jardin de ses parents, qui mesurait cinq mètres sur trois et qu'on agrandit de x mètres en longueur et y mètres en largeur. Maya lui montre comment développer le produit (5 + x)(3 + y) en appliquant une règle claire : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, ce qui donne toujours quatre produits.
Pour ne rien oublier, tu découvriras la méthode FOIL : Premiers, Extérieurs, Intérieurs, Derniers. L'épisode détaille ensuite un cas classique, (x + 3)(x + 5), puis un cas avec des signes négatifs, (x − 3)(x − 2), où il faut bien se souvenir que moins fois moins égale plus.
Tu apprendras aussi à regrouper les termes semblables pour obtenir un résultat réduit, une étape que les correcteurs vérifient systématiquement. Au passage, Maya raconte que cette technique remonte au mathématicien persan Al-Khwarizmi, au neuvième siècle, qui faisait les mêmes calculs en phrases, sans aucun symbole.
En cinq minutes, tu auras en main tout ce qu'il faut pour développer n'importe quel produit de deux parenthèses.
La règle générale de la double distributivité
Quand tu multiplies deux parenthèses, par exemple (a + b)(c + d), chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Le résultat donne quatre produits : a fois c, plus a fois d, plus b fois c, plus b fois d.
C'est la règle de base, et elle fonctionne à chaque fois, quels que soient les nombres ou les lettres dans les parenthèses.
La méthode FOIL pour ne rien oublier
FOIL est un moyen mnémotechnique venu de l'anglais : First, Outer, Inner, Last, soit Premiers, Extérieurs, Intérieurs, Derniers. Tu effectues les quatre multiplications dans cet ordre et tu es sûr de n'en oublier aucune.
Par exemple, pour (x + 3)(x + 5) : Premiers donne x², Extérieurs donne 5x, Intérieurs donne 3x, Derniers donne 15. En sommant et en regroupant les termes semblables, tu obtiens x² + 8x + 15.
Les signes négatifs : le piège classique
Quand les parenthèses contiennent des soustractions, la règle des signes entre en jeu à chaque produit. Dans l'exemple (x − 3)(x − 2), les Derniers donnent moins trois fois moins deux, ce qui fait plus six, et non moins six.
Le piège classique au CE1D est justement d'oublier que moins fois moins égale plus. Le résultat correct est x² − 5x + 6.
Un problème concret : le jardin de Léo
L'épisode part d'une situation réelle : le jardin des parents de Léo mesure cinq mètres sur trois mètres, et on l'agrandit de x mètres en longueur et y mètres en largeur. La nouvelle aire s'écrit (5 + x)(3 + y).
En appliquant la double distributivité, on obtient 15 + 5y + 3x + xy. La partie 15 correspond à l'ancienne aire, et le reste représente tout ce que les agrandissements ajoutent.
L'origine historique du calcul littéral
Maya rappelle que cette méthode remonte au mathématicien persan Al-Khwarizmi, au neuvième siècle. À l'époque, il n'existait pas de symboles : les calculs étaient entièrement rédigés en phrases, en arabe.
Imagine devoir écrire « le produit de la chose plus trois par la chose plus cinq » à chaque fois. Les notations modernes rendent la tâche bien plus rapide.
Les points clés
- La double distributivité donne toujours quatre produits : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
- La méthode FOIL (Premiers, Extérieurs, Intérieurs, Derniers) permet de n'oublier aucun des quatre produits.
- Moins fois moins égale plus : c'est le piège le plus fréquent dans les développements avec des signes négatifs.
- Il faut toujours regrouper les termes semblables à la fin pour obtenir un résultat réduit.
- Le calcul littéral remonte à Al-Khwarizmi, au neuvième siècle, qui effectuait ces opérations en phrases sans symboles.
Questions fréquentes
Comment développer un produit de deux parenthèses ?
Pour développer (a + b)(c + d), tu multiplies chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde. Cela donne quatre produits : ac + ad + bc + bd.
Ensuite, tu regroupes les termes semblables pour simplifier le résultat.
Que signifie la méthode FOIL en maths ?
FOIL est un moyen mnémotechnique anglais : First, Outer, Inner, Last, soit Premiers, Extérieurs, Intérieurs, Derniers. Il indique l'ordre dans lequel effectuer les quatre multiplications lors d'un développement de deux parenthèses, pour être certain de n'en oublier aucune.
Pourquoi moins fois moins donne plus dans un développement ?
C'est la règle des signes : le produit de deux nombres négatifs est toujours positif. Par exemple, dans (x − 3)(x − 2), le produit des derniers termes donne (−3) × (−2) = +6.
Oublier cette règle est le piège le plus courant lors d'un développement.
Comment éviter les erreurs dans la double distributivité ?
Utilise la méthode FOIL pour effectuer les quatre produits dans l'ordre, sans en sauter. Applique la règle des signes à chaque multiplication.
Enfin, regroupe toujours les termes semblables à la fin pour obtenir un résultat réduit, car les correcteurs vérifient cette étape.
Qui a inventé le calcul littéral ?
Le calcul littéral remonte au mathématicien persan Al-Khwarizmi, au neuvième siècle. Il effectuait ces opérations en phrases rédigées en arabe, sans aucun symbole.
Les notations modernes que tu utilises aujourd'hui sont apparues bien plus tard.