Développer une expression : la distributivité simple
Maitriser la distributivité simple a(b+c) = ab + ac, y compris avec coefficients négatifs et termes négatifs
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Comment développer une expression avec des parenthèses sans se tromper ? Dans cet épisode, Léo et Maya t'expliquent la distributivité simple, cette règle incontournable du calcul littéral qui tombe à presque toutes les épreuves.
Le principe est limpide : quand tu as un facteur devant une parenthèse, tu le multiplies par chaque terme à l'intérieur. Comme un livreur qui passe à chaque maison de la rue, le facteur extérieur frappe tous les termes, un par un.
Tu vas voir comment appliquer la formule a(b + c) = ab + ac sur des cas concrets : d'abord avec des coefficients positifs, puis avec des coefficients négatifs où la règle des signes entre en jeu. Léo et Maya décortiquent aussi les erreurs classiques qui font perdre des points, comme oublier de distribuer sur le second terme ou inverser un signe.
En bonus, tu découvriras une anecdote sur l'origine du symbole de multiplication : la croix oblique popularisée par William Oughtred en 1631, puis le point inventé par Leibniz pour éviter la confusion avec le x des inconnues. Un épisode court et efficace pour maîtriser cette technique essentielle du CE1D.
La règle de la distributivité simple
La distributivité, c'est distribuer le facteur qui se trouve devant la parenthèse à chaque terme situé à l'intérieur. La formule officielle : a(b + c) = ab + ac.
Maya compare cela à un livreur qui passe à chaque maison de la rue : le facteur extérieur frappe tous les termes, un par un. Par exemple, 3(x + 5) donne 3 fois x plus 3 fois 5, soit 3x + 15.
Coefficient négatif et règle des signes
Quand le facteur devant la parenthèse est négatif, le signe moins se distribue lui aussi sur chaque terme. Par exemple, -2(x + 4) donne -2x - 8 : le huit prend aussi le moins.
Si un terme à l'intérieur est également négatif, la règle des signes s'applique : moins fois moins égale plus. Ainsi, -3(2x - 7) donne -6x + 21.
Cette règle des signes est constante : plus fois moins égale moins, moins fois moins égale plus.
Les erreurs classiques à éviter
L'erreur numéro un, celle qui fait perdre le plus de points : oublier de distribuer sur le second terme. Beaucoup d'élèves écrivent 3x + 5 au lieu de 3x + 15 pour 3(x + 5).
Le facteur extérieur doit frapper tous les termes, pas juste le premier. L'autre piège fréquent, c'est l'inversion de signe avec un coefficient négatif : écrire -2x + 8 au lieu de -2x - 8 pour -2(x + 4).
Un exemple concret : le festival
Maya propose une situation de la vie réelle pour montrer que la distributivité n'est pas qu'une formule abstraite. Au festival, ton groupe achète quatre packs identiques.
Chaque pack contient un sandwich à x euros et une boisson à trois euros. Le total se calcule avec 4(x + 3), soit 4x + 12.
Le facteur "quatre packs" se distribue sur chaque article du pack.
D'où vient le symbole de multiplication ?
Le mathématicien anglais William Oughtred a popularisé la croix oblique en 1631. Soixante ans plus tard, Leibniz a introduit le petit point parce qu'il trouvait que la croix se confondait trop avec le x des inconnues.
C'est pour cette raison que la majorité des manuels utilisent aujourd'hui le point pour noter la multiplication.
Les points clés
- La distributivité simple : le facteur extérieur multiplie chaque terme à l'intérieur de la parenthèse, a(b + c) = ab + ac.
- Avec un coefficient négatif, le signe moins se distribue sur tous les termes sans exception.
- Règle des signes : moins fois moins égale plus, plus fois moins égale moins.
- Erreur classique : oublier de distribuer sur le second terme ou inverser un signe.
- Le symbole de multiplication en point (·) a été introduit par Leibniz pour éviter la confusion avec le x des inconnues.
Questions fréquentes
Comment développer une expression avec la distributivité simple ?
Tu multiplies le facteur situé devant la parenthèse par chaque terme à l'intérieur. Par exemple, 3(x + 5) donne 3 fois x plus 3 fois 5, soit 3x + 15.
Le facteur extérieur frappe tous les termes, un par un, comme un livreur qui passe à chaque maison.
Comment distribuer un coefficient négatif dans une parenthèse ?
Le signe moins se distribue avec le coefficient sur chaque terme. Par exemple, -2(x + 4) donne -2 fois x plus -2 fois 4, soit -2x - 8.
Le huit prend aussi le moins. Si un terme intérieur est aussi négatif, moins fois moins donne plus : -3(2x - 7) = -6x + 21.
Quelle est l'erreur la plus fréquente en distributivité ?
L'erreur numéro un est d'oublier de distribuer sur le second terme. Par exemple, pour 3(x + 5), beaucoup d'élèves écrivent 3x + 5 au lieu de 3x + 15.
Le facteur extérieur doit multiplier tous les termes à l'intérieur de la parenthèse, pas seulement le premier.
Pourquoi utilise-t-on un point au lieu d'une croix pour la multiplication ?
Le mathématicien Leibniz a introduit le petit point environ soixante ans après que William Oughtred a popularisé la croix oblique en 1631. Leibniz trouvait que la croix se confondait trop avec le x utilisé pour les inconnues.
C'est pour cela que la majorité des manuels utilisent aujourd'hui le point.
C'est quoi la règle des signes en multiplication ?
Moins fois moins égale plus, et plus fois moins égale moins. Cette règle s'applique toujours quand tu distribues un coefficient négatif.
Par exemple, dans -3(2x - 7), le calcul -3 fois -7 donne +21 grâce à cette règle.