La proportionnalité, le grand classique
Reconnaitre une situation de proportionnalité directe et calculer une 4e proportionnelle (coefficient ou règle de trois)
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Creer mon compte gratuitÀ retenir de cet épisode
Tu as une recette pour quatre personnes, mais tu dois cuisiner pour seize : comment adapter les quantités ? C'est exactement la question que se posent Léo et Maya dans cet épisode consacré à la proportionnalité, le grand classique des maths.
Dans cette discussion, tu vas découvrir ce qu'est la proportionnalité directe : deux grandeurs dont le rapport reste toujours constant. Tu apprendras deux méthodes pour trouver une quatrième proportionnelle : la méthode du coefficient et la fameuse règle de trois.
Tu sauras aussi d'où vient ce nom. Au Moyen Âge, les marchands italiens l'appelaient la regula aurea, la règle d'or, pour convertir des monnaies à Venise et à Pise.
Léo et Maya te racontent également comment Thalès a mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops, six siècles avant Jésus-Christ, juste avec un bâton et son ombre. Mais attention : toutes les situations qui augmentent ensemble ne sont pas proportionnelles.
Tu découvriras le piège classique de l'épreuve et le test infaillible pour ne jamais te faire avoir. Un épisode indispensable pour comprendre un outil que tu utiliseras tous les jours, même bien après l'école.
Qu'est-ce que la proportionnalité directe ?
Deux grandeurs sont proportionnelles si, quand l'une est multipliée par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. Par exemple, deux fois plus de personnes à table, c'est deux fois plus d'œufs dans la recette.
Trois fois plus, trois fois plus. Le rapport entre les deux grandeurs reste toujours constant : on l'appelle le coefficient de proportionnalité.
Comme le rappelle Maya, la proportionnalité revient au moins trois fois par épreuve et c'est le seul outil que tu utiliseras tous les jours, même bien après l'école.
Deux méthodes pour trouver la quatrième proportionnelle
Première méthode : le coefficient. Si deux personnes ont besoin de trois cents grammes de pâtes, le coefficient vaut cent cinquante grammes par personne.
Pour cinq personnes, tu calcules cinq fois cent cinquante, ce qui donne sept cent cinquante grammes. Deuxième méthode : la règle de trois.
Tu divises trois cents grammes par deux, puis tu multiplies par cinq. Trois cents divisé par deux, ça fait cent cinquante, fois cinq, sept cent cinquante grammes.
Les deux méthodes donnent le même résultat, mais la règle de trois est la plus utilisée à l'épreuve.
D'où vient la règle de trois ?
Elle s'appelle ainsi parce qu'on connait trois valeurs et qu'on cherche la quatrième. Au Moyen Âge, les marchands italiens l'appelaient regula aurea, la règle d'or.
À Venise et à Pise, ils s'en servaient toute la journée pour les changes de monnaie et ont bâti des fortunes grâce à elle. Et bien avant eux, Thalès a utilisé la proportionnalité pour mesurer la pyramide de Kheops, six siècles avant Jésus-Christ.
Il a planté un bâton dans le sable et, au moment où l'ombre du bâton avait la même longueur que le bâton lui-même, il a mesuré l'ombre de la pyramide : elle était égale à sa hauteur. Sans calculatrice.
Le piège classique : quand ce n'est pas proportionnel
Toutes les situations qui augmentent ensemble ne sont pas proportionnelles. Prenons un forfait téléphone : dix euros fixes, plus cinq centimes par minute.
À zéro minute, tu paies déjà dix euros, pas zéro. Le test infaillible, c'est justement celui-là : une situation est proportionnelle si, et seulement si, elle passe par zéro.
Zéro personne, zéro pâtes. Zéro mètre carré de tissu, zéro euro de tissu.
Mais zéro minute de téléphone ne donne pas zéro euro : ce n'est pas proportionnel. Appliquer la règle de trois sur un cas non proportionnel, c'est le piège classique de l'épreuve.
Les points clés
- Deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport reste constant : deux fois plus de personnes, deux fois plus d'ingrédients.
- Pour trouver la quatrième proportionnelle, tu peux utiliser le coefficient ou la règle de trois.
- La règle de trois tire son nom des trois valeurs connues qui permettent de calculer la quatrième.
- Le test infaillible : si zéro à gauche donne zéro à droite, c'est proportionnel, sinon ce ne l'est pas.
- Un forfait avec un montant fixe n'est pas proportionnel, même si le total augmente avec l'utilisation.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la proportionnalité directe en maths ?
Deux grandeurs sont en proportionnalité directe si, quand l'une est multipliée par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. Le rapport entre les deux grandeurs reste toujours constant : on l'appelle le coefficient de proportionnalité.
Par exemple, si deux personnes ont besoin de trois cents grammes de pâtes, cinq personnes auront besoin de sept cent cinquante grammes.
Comment utiliser la règle de trois ?
La règle de trois s'utilise quand tu connais trois valeurs et que tu cherches la quatrième dans une situation proportionnelle. Tu divises la valeur connue par la quantité correspondante, puis tu multiplies par la quantité recherchée.
Par exemple : trois cents grammes pour deux personnes, divisé par deux, multiplié par cinq, donne sept cent cinquante grammes pour cinq personnes.
Comment savoir si une situation est proportionnelle ou non ?
Utilise le test du zéro : si zéro à gauche donne zéro à droite, la situation est proportionnelle. Par exemple, zéro personne correspond à zéro gramme de pâtes, c'est proportionnel.
En revanche, un forfait téléphone à dix euros fixes plus cinq centimes par minute coûte déjà dix euros à zéro minute : ce n'est pas proportionnel.
Pourquoi la règle de trois s'appelle-t-elle comme ça ?
Elle s'appelle ainsi parce qu'on connait trois valeurs et qu'on cherche la quatrième. Au Moyen Âge, les marchands italiens l'appelaient regula aurea, la règle d'or.
À Venise et à Pise, ils l'utilisaient quotidiennement pour les changes de monnaie.
Comment Thalès a-t-il mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops ?
Thalès a planté un bâton dans le sable. Au moment où l'ombre du bâton avait exactement la même longueur que le bâton lui-même, il a mesuré l'ombre de la pyramide.
À cet instant, l'ombre de la pyramide était égale à sa hauteur. C'est de la proportionnalité parfaite entre la taille d'un objet et la longueur de son ombre, au même instant.
Cela s'est passé six siècles avant Jésus-Christ, sans calculatrice.