Les fractions, dénominateur commun et forme irréductible
Additionner des fractions à dénominateurs différents, simplifier avant de multiplier, livrer en forme irréductible
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Creer mon compte gratuitÀ retenir de cet épisode
Tu sais doubler un tiers de litre de lait ? Facile : deux tiers.
Mais doubler un quart de farine, ça donne quoi exactement ? Dans cet épisode d'edukia, Léo et Maya partent d'une recette de cuisine pour t'expliquer comment additionner des fractions quand les dénominateurs sont différents.
Tu vas découvrir pourquoi il faut absolument un dénominateur commun, comment utiliser le PPCM (le plus petit commun multiple) pour le trouver, et surtout comment vérifier qu'une fraction est bien sous forme irréductible. Léo se lance dans un calcul complet : quatre tiers plus un moins cinq douzièmes.
Étape par étape, il convertit tout en douzièmes et arrive à vingt-trois douzièmes, une fraction déjà irréductible puisque vingt-trois est un nombre premier. Maya en profite pour rappeler que les Égyptiens utilisaient déjà les fractions il y a quatre mille ans, mais uniquement avec un au numérateur.
Imagine construire la grande pyramide de Gizeh avec ce système ! L'épisode se termine par une astuce précieuse pour la multiplication : simplifier avant de multiplier, pas après.
Plus rapide, plus sûr, et surtout moins de risques d'erreur. Cinq minutes pour maîtriser les fractions comme un pro.
Additionner des fractions : le dénominateur commun est obligatoire
Pour additionner deux fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur. Si c'est déjà le cas, tu additionnes simplement les numérateurs et tu gardes le dénominateur.
Par exemple, trois septièmes plus deux septièmes égale cinq septièmes. Si les dénominateurs sont différents, tu cherches un dénominateur commun, en général le PPCM (le plus petit commun multiple).
Pour trois et quatre, le PPCM est douze.
Le calcul phare : quatre tiers plus un moins cinq douzièmes
Léo relève le défi de calculer quatre tiers plus un moins cinq douzièmes. Première étape : tout exprimer en douzièmes.
Le un devient douze douzièmes. Quatre tiers devient seize douzièmes (on multiplie numérateur et dénominateur par quatre).
Ensuite, seize plus douze égale vingt-huit, moins cinq égale vingt-trois. Le résultat est vingt-trois douzièmes.
Comme vingt-trois est un nombre premier et que douze vaut deux fois deux fois trois, il n'y a aucun diviseur commun : la fraction est déjà irréductible.
Les fractions égyptiennes : quatre mille ans d'histoire
Les Égyptiens utilisaient les fractions il y a environ quatre mille ans, mais avec une contrainte étonnante : ils n'acceptaient que des fractions unitaires, c'est-à-dire avec un au numérateur. Un demi, un tiers, un quart.
Pour écrire deux tiers, ils décomposaient : un demi plus un sixième. Malgré ce système compliqué, ils ont construit la grande pyramide de Gizeh, haute de cent trente-neuf mètres, il y a quatre mille cinq cents ans.
Multiplier des fractions : simplifier avant, jamais après
Pour multiplier deux fractions, tu peux multiplier tous les numérateurs entre eux, puis tous les dénominateurs, et simplifier à la fin. Mais Maya montre une méthode plus maligne : simplifier avant de multiplier.
Par exemple, pour deux tiers fois neuf demi, tu remarques que trois et neuf sont divisibles par trois, et que les deux au numérateur et au dénominateur sont divisibles par deux. En simplifiant d'abord, tu arrives directement à trois, sans passer par dix-huit divisé par six.
Moins de calcul, moins de risques d'erreur.
Les points clés
- Pour additionner des fractions, il faut le même dénominateur : utilise le PPCM pour le trouver.
- Vérifie toujours la forme irréductible à la fin : numérateur et dénominateur ne doivent avoir aucun diviseur commun.
- Pour multiplier des fractions, simplifie avant de multiplier : c'est plus rapide et plus sûr.
- Un nombre entier est aussi une fraction : un égale douze douzièmes quand tu travailles en douzièmes.
- Les Égyptiens calculaient déjà avec des fractions il y a quatre mille ans, en utilisant uniquement des fractions unitaires.
Questions fréquentes
Comment additionner deux fractions avec des dénominateurs différents ?
Tu dois d'abord trouver un dénominateur commun, en général le PPCM (plus petit commun multiple) des deux dénominateurs. Ensuite, tu convertis chaque fraction pour qu'elle ait ce nouveau dénominateur, en multipliant numérateur et dénominateur par le même nombre.
Enfin, tu additionnes les numérateurs et tu gardes le dénominateur commun.
Comment savoir si une fraction est irréductible ?
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que un. Par exemple, vingt-trois douzièmes est irréductible parce que vingt-trois est un nombre premier et qu'il ne divise pas douze.
Si la consigne demande la forme irréductible, il faut absolument vérifier, sinon tu perds des points même avec un calcul juste.
Pourquoi simplifier avant de multiplier des fractions ?
En simplifiant avant de multiplier, tu travailles avec des nombres plus petits, ce qui rend le calcul plus rapide et réduit le risque d'erreur. Par exemple, pour deux tiers fois neuf demi, tu simplifies trois et neuf par trois, puis les deux par deux, et tu arrives directement à trois, sans passer par dix-huit sur six.
Comment transformer un nombre entier en fraction ?
Tu le convertis directement avec le dénominateur commun : par exemple, un égale douze douzièmes quand tu travailles en douzièmes. Mais si tu dois l'additionner à d'autres fractions, tu le convertis avec le dénominateur commun.
Par exemple, un égale douze douzièmes quand tu travailles en douzièmes.
C'est quoi une fraction unitaire égyptienne ?
C'est une fraction avec un au numérateur, comme un demi, un tiers ou un quart. Les Égyptiens, il y a environ quatre mille ans, n'utilisaient que ce type de fractions.
Pour écrire deux tiers, ils décomposaient en un demi plus un sixième. Malgré cette contrainte, ils ont réussi à construire la grande pyramide de Gizeh.