Pythagore à la plage
Distance à une bouée, hauteur d'un plongeoir : le théorème de Pythagore devient concret les pieds dans le sable.
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Tu te demandes comment calculer une distance sans la mesurer directement ? Dans cet épisode, Léo et Maya sont à la plage et se lancent un défi : trouver la distance qui les sépare d'une bouée, sans nager.
Leur outil secret : le théorème de Pythagore, une formule vieille de deux mille six cents ans qui fonctionne dans tous les triangles rectangles. Tu vas découvrir la règle a au carré plus b au carré égale c au carré, comprendre ce qu'est l'hypoténuse et voir comment appliquer tout ça à des situations concrètes : estimer la distance d'une bouée ou calculer où tu atterris en sautant d'un plongeoir.
En bonus, tu apprendras que les Égyptiens utilisaient déjà le triangle trois-quatre-cinq pour tracer des angles droits parfaits trois mille ans avant Pythagore, et que l'école pythagoricienne gardait ses découvertes si secrètes que, selon la légende, un disciple aurait été puni pour avoir révélé l'existence des nombres irrationnels. Géométrie, histoire et plage : tout se mélange dans cet épisode rafraîchissant.
Le théorème de Pythagore : la formule à connaître
Dans un triangle rectangle, c'est-à-dire un triangle avec un angle de nonante degrés, le côté le plus long s'appelle l'hypoténuse. Il se trouve toujours en face de l'angle droit.
Le théorème de Pythagore dit ceci : a au carré plus b au carré égale c au carré, où c est l'hypoténuse. Si tu connais deux côtés du triangle, tu peux calculer le troisième sans jamais mesurer directement.
La bouée à quinze mètres : premier exemple concret
Léo marche le long du bord de la plage sur douze mètres. Depuis ce nouveau point, la distance perpendiculaire jusqu'à la bouée est estimée à neuf mètres.
On applique la formule : douze au carré plus neuf au carré, soit cent quarante-quatre plus quatre-vingt-un, ce qui donne deux cent vingt-cinq. La racine carrée de deux cent vingt-cinq est quinze.
La bouée se trouve donc à quinze mètres du bord, calculé sans nager.
Le plongeoir : trouver la distance d'atterrissage
Le plongeoir fait quatre mètres de haut et la diagonale entre son sommet et le bord de la piscine mesure cinq mètres. Cette fois, on cherche la base : cinq au carré moins quatre au carré donne vingt-cinq moins seize, soit neuf.
La racine carrée de neuf est trois. La base du plongeoir se trouve à trois mètres du bord de la piscine.
Pratique pour savoir où tu vas atterrir avant de sauter.
Un peu d'histoire : des Égyptiens à Pythagore
Le triangle trois-quatre-cinq, où trois au carré plus quatre au carré égale cinq au carré (neuf plus seize font vingt-cinq), était utilisé par les Égyptiens pour tracer des angles droits parfaits, trois mille ans avant que Pythagore ne donne son nom au théorème. L'école pythagoricienne, elle, gardait ses découvertes secrètes : ses membres juraient de ne rien révéler.
Selon une légende, un disciple qui a prouvé que la racine carrée de deux était irrationnelle, un nombre impossible à écrire comme fraction, aurait été noyé. Cette légende est probablement exagérée, mais elle montre à quel point ces découvertes bouleversaient leur vision du monde.
Les points clés
- Le théorème de Pythagore s'applique aux triangles rectangles : a au carré plus b au carré égale c au carré, où c est l'hypoténuse (le côté en face de l'angle droit).
- Connaître deux côtés d'un triangle rectangle suffit pour calculer le troisième grâce à cette formule.
- Le triangle trois-quatre-cinq est un raccourci utilisé depuis l'Égypte ancienne pour tracer des angles droits parfaits.
- Deux exemples concrets : une bouée à quinze mètres (douze au carré plus neuf au carré) et un plongeoir dont la base est à trois mètres du bord (cinq au carré moins quatre au carré).
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore est une règle qui s'applique aux triangles rectangles (avec un angle de nonante degrés). Il dit que a au carré plus b au carré égale c au carré, où c est l'hypoténuse, le côté le plus long situé en face de l'angle droit.
Si tu connais deux côtés, tu peux calculer le troisième.
Qu'est-ce que l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle. Elle se trouve toujours en face de l'angle droit (nonante degrés).
Dans la formule de Pythagore, c'est le côté c dans a au carré plus b au carré égale c au carré.
Comment calculer une distance avec le théorème de Pythagore ?
Tu construis un triangle rectangle avec les mesures que tu connais. Par exemple, si tu marches douze mètres le long du bord et que la distance perpendiculaire est de neuf mètres, tu calcules douze au carré plus neuf au carré, soit deux cent vingt-cinq.
La racine carrée de deux cent vingt-cinq donne quinze mètres : c'est la distance cherchée.
Qu'est-ce que le triangle 3-4-5 en géométrie ?
Le triangle trois-quatre-cinq est un triangle rectangle célèbre où trois au carré plus quatre au carré égale cinq au carré (neuf plus seize font vingt-cinq). Les Égyptiens l'utilisaient déjà il y a plus de trois mille ans pour tracer des angles droits parfaits sans rapporteur.
Pourquoi le théorème s'appelle-t-il « de Pythagore » ?
Il porte le nom du mathématicien grec Pythagore, qui a vécu il y a environ deux mille six cents ans. Cependant, le principe était déjà connu et utilisé par les Égyptiens trois mille ans avant lui, notamment avec le triangle trois-quatre-cinq pour construire des angles droits.